【线性代数】对秩不等式的理解

这篇博客主要记录对秩不等式$r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min (r(A),r(B))$的理解。
不等式中假设矩阵$A$是$m\times n$，矩阵$B$是$n\times k$的。

前置知识

首先要理解矩阵可以看作对空间的变换。我们这里约定使用矩阵的列向量空间，那么矩阵的行数就表示了空间的维数。

举个例子，假如一个向量空间由一个$3\times 4$矩阵描述，而这个空间的秩为$2$，那么这可能是$3$维空间中$4$个共面的向量。

矩阵乘积$AB$可以理解为对原空间$B$做变换$A$；$B_{n\times k}$意味着原空间是$n$维空间中的$k$个向量；$A_{m\times n}$意味着变换$A$将$n$维空间映射到$m$维空间，原空间$B$的$n$个单位轴向量（单位矩阵$I_{n\times n}$的列向量）被映射到$A$的$n$个列向量。

注意这个例子暗含了矩阵的双重含义，矩阵既可以表示一个向量空间，也可以描述一个空间变换；但更进一步的说，空间变换本质上也是一个向量空间，代表原空间的所有单位轴向量在新空间映射到的向量。

右边

新空间的秩一定不大于原空间的秩，因为一个向量空间在经过线性变换后，在“最好”的情况下，没有维度被压缩，秩不变，否则就会降秩。

新空间的秩一定不大于变换的秩，因为变换后的向量组必然要“存在于”向量空间$A$中。

左边

移项得$r(B)-r(AB)\le n-r(A)$，如果记单位矩阵$I_{n\times n}$，则可以更直观的表示为：

如果变换$A$压缩了向量组$B$的秩，则至少也会压缩$B$所在空间等量的秩数；但反之如果变换$A$压缩了空间的维度，有可能恰好没有影响到向量组$B$。

例如，考虑$A$将$3$维空间的其中$1$个维度$z$压缩没了，导致$r(I)-r(AI)=1$；但$A$可能不会影响$xy$平面上的向量组$B$，有$r(B)-r(AB)=0$。