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【线性代数】对秩不等式的理解

这篇博客主要记录对秩不等式 $r (A) + r (B) - n \leq r (A B) \leq min (r (A), r (B))$ 的理解。
不等式中假设矩阵 $A$ 是 $m \times n$ ，矩阵 $B$ 是 $n \times k$ 的。

前置知识

首先要理解矩阵可以看作对空间的变换。我们这里约定使用矩阵的列向量空间，那么矩阵的行数就表示了空间的维数。

举个例子，假如一个向量空间由一个 $3 \times 4$ 矩阵描述，而这个空间的秩为 $2$ ，那么这可能是 $3$ 维空间中 $4$ 个共面的向量。

矩阵乘积 $A B$ 可以理解为对原空间 $B$ 做变换 $A$ ； $B_{n \times k}$ 意味着原空间是 $n$ 维空间中的 $k$ 个向量； $A_{m \times n}$ 意味着变换 $A$ 将 $n$ 维空间映射到 $m$ 维空间，原空间 $B$ 的 $n$ 个单位轴向量（单位矩阵 $I_{n \times n}$ 的列向量）被映射到 $A$ 的 $n$ 个列向量。

注意这个例子暗含了矩阵的双重含义，矩阵既可以表示一个向量空间，也可以描述一个空间变换；但更进一步的说，空间变换本质上也是一个向量空间，代表原空间的所有单位轴向量在新空间映射到的向量。

右边

r (A B) \leq min (r (A), r (B))

线性变换后新空间的秩一定不大于原空间的秩，也一定不大于这个变换的秩。

新空间的秩一定不大于原空间的秩，因为一个向量空间在经过线性变换后，在“最好”的情况下，没有维度被压缩，秩不变，否则就会降秩。

新空间的秩一定不大于变换的秩，因为变换后的向量组必然要“存在于”向量空间 $A$ 中。

左边

r (A) + r (B) - n \leq r (A B)

移项得 $r (B) - r (A B) \leq n - r (A)$ ，如果记单位矩阵 $I_{n \times n}$ ，则可以更直观的表示为：

r (B) - r (A B) \leq r (I) - r (A I)

含义为同一个变换 $A$ 作用于 $n$ 维空间（的单位轴向量组），其损失的维度一定不会小于变换 $A$ 作用于 $n$ 维空间中的某个向量组 $B$ 。

如果变换 $A$ 压缩了向量组 $B$ 的秩，则至少也会压缩 $B$ 所在空间等量的秩数；但反之如果变换 $A$ 压缩了空间的维度，有可能恰好没有影响到向量组 $B$ 。

例如，考虑 $A$ 将 $3$ 维空间的其中 $1$ 个维度 $z$ 压缩没了，导致 $r (I) - r (A I) = 1$ ；但 $A$ 可能不会影响 $x y$ 平面上的向量组 $B$ ，有 $r (B) - r (A B) = 0$ 。