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【GAMES101】Geometry

几何的隐式和显式表示

隐式： $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0$

显式： $(u, v) \to (cos u sin v, sin u sin v, cos v)$

隐式(implicit)表示就像数学中的隐函数，比如 $f (x, y) = 0$ 、 $g (x, y, z) = 0$ ，通过描述点满足的条件来表达几何体；这样的方式容易验证一点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 是否在定义的面上，但求出构成形体的所有点是困难的，因为这需要求出方程的解。

显式(explicit)表示通过参数映射的方式，例如在3D空间中定义 $f : R^{2} \to R^{3}$ 来描述一个几何体。这样求出构成几何体的点是容易的，只需要遍历函数定义域；但验证一点是否在表面上是困难的。

更多显式表示

点云

点云是最简单的表示方法，用列表存储各个点的信息。只要采样足够密集，理论上可以表示任何几何体。

多边形

图形学中最广泛的应用通常是三角形面。

Wavefront Object (*.obj) 文件简介

这是Wavefront科技开发的一种描述三维对象的文件格式，是一个文本文件，通常包含顶点v，法线vn，面f等定义信息；例如下面的代码表达了一个四面体：

# 顶点
v  1.0  1.0  1.0
v -1.0 -1.0  1.0
v -1.0  1.0 -1.0
v  1.0 -1.0 -1.0

# 面
f 1 2 3
f 1 3 4
f 1 4 2
f 2 4 3

f后面是顶点的索引。更详细的资料可以参考维基百科。

网站ONLINE 3D VIEWER可以在线查看各种格式定义的3D模型。

贝塞尔曲线

我们可以通过三个控制点 $b_{0}$ 、 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ 来生成图中蓝色的曲线，具体做法是对于每个 $t \in [0, 1]$ ：
做出点 $b_{0}^{1}$ 、 $b_{1}^{1}$ ，满足 $b_{0} b_{0}^{1} = t b_{0} b_{1}$ 、 $b_{1} b_{1}^{1} = t b_{1} b_{2}$ ；
再做出 $b_{0}^{2}$ ，满足 $b_{0}^{1} b_{0}^{2} = t b_{0}^{1} b_{1}^{1}$ ；

每一个 $t$ 对应的 $b_{0}^{2}$ 就构成一条贝塞尔曲线，也就是图中蓝色的曲线。

三阶贝塞尔曲线

如果用四个控制点，同样通过类似的递归的方法，可以生成一条更高阶的贝塞尔曲线：

对于三阶贝塞尔曲线上一点 $b_{0}^{3}$ ，也就是图中标识的 $x (t)$ ，尽管从演示上是通过中间点一步一步得到的，但实际给出四个控制点位置和 $t$ 就可以唯一确定。

下图中左侧是常见的分段定义贝塞尔曲线的方法，每个顶点都延伸出两根“控制杆”，而实际上三阶贝塞尔曲线的四个控制点是图中标出的 $b_{0}$ ~ $b_{3}$ ，相当于省去了连线 $b_{1} b_{2}$ 。

如果希望分段贝塞尔曲线连续，则需要两侧的“控制杆”反向共线且等长，如下图中右侧所示。

这个网站可以在线编辑贝塞尔曲线。

贝塞尔曲面

描述一维贝塞尔曲线时需要一个参数 $t$ ，自然地，对于贝塞尔曲面需要两个参数 $u \in [0, 1]$ , $v \in [0, 1]$ 。

生成贝塞尔曲面的方式类似双线性插值：我们需要16个控制点排列成 $4 \times 4$ ，对于四个点组成的一列可以生成一个贝塞尔曲线（图中灰色线），指定了参数 $u$ 后，可以分别得到四条曲线上的四个点（图中蓝色点）；以这四个蓝色点作为新的控制点，每一个参数 $v$ 都会给出蓝色贝塞尔曲线上的一点（图中白色点）。

这就是参数 $(u, v)$ 到贝塞尔曲面上一点的一一对应关系。