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【GAMES101】Shading

Blinn-Phong光照模型

将环境光分为：

漫反射(diffuse reflection)：一根光线打过来，反射到四面八方

高光(specular highlights)：一根光线打过来，反射方向与镜面反射方向相近

环境光(ambient lighting)：环境中经过多次反射叠加的结果，认为是常量

模型定义和说明

着色模型考虑一个点，在这个点处小范围表面被近似看作平面：

模型的输入（向量均为单位向量）：

观察方向 $v$

法线方向 $n$

光照方向 $l$

这一点处表面的固有性质（颜色等）

着色是局部的，计算每一点的着色结果时，不会考虑其他物体的存在，不会产生影子。

例如红色框部分是有些反直觉的。

漫反射

光线衰减

我们认为点光源发出的光的能量集中在一个球壳上，根据能量守恒，光强应与距离平方成反比。

如果在与中心距离 $1$ 处光强为 $I$ ，则在与中心距离 $r$ 处光强为 $I / r^{2}$ 。

朗伯着色模型

考虑一个点的着色，其漫反射部分可以接收到的光线占光源的比例为 $cos θ = l \cdot n$ ：

漫反射部分 $L_{d}$ 的计算公式为：

L_{d} = k_{d} (I / r^{2}) max (0, l \cdot n)

其中的 $k_{d}$ 是漫反射常量，表示着色点对能量的吸收率，取决于物体材质。如果定义为具有3个分量的常向量，则可以表示不同的颜色。

当光照方向和法线方向余弦值为负数的时候，认为光线不可到达此点，按 $0$ 考虑。

注意到漫反射是与观察方向 $v$ 无关的。

高光

高光的反射方向是接近镜面反射方向的。

我们观察到：如果反射方向与观察方向相近时，半程向量 $h$ 应该与法线方向也相近， $h$ 是归一化后的观察方向与光照方向的和：

h = \frac{v + l}{∥ v + l ∥}

高光部分 $L_{s}$ 的计算公式为：

L_{s} = k_{s} (I / r^{2}) max (0, n \cdot h)^{p}

其中的 $k_{s}$ 通常接近 $1$ 。

指数 $p$ 使得 $n$ 、 $h$ 向量夹角增大时，使 $L_{s}$ 快速衰减。

环境光

我们假设在每一点处，来自环境中各处散射叠加而成的光强是相等的 $I_{a}$ 。

环境光部分 $L_{a}$ 的计算公式为：

L_{a} = k_{a} I_{a}

结果

最后的计算结果为： $L = L_{d} + L_{s} + L_{a}$

纹理映射

纹理映射希望能够定义一个物体上面任意一点的不同属性（ $k_{d}$ 等）。认为3D物体的表面是一张2D的图，纹理映射需要建立起3D物体表面上一点与纹理表面上的一点的一一对应关系。

$u$ 、 $v$ 通常都取值 $[0, 1]$ 。模型的每一个顶点都对应一个 $(u, v)$ 。

纹理表面是如何得到的？美工画的！

重心坐标

三角形所在平面上任何一点都可以用三角形顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 来表示：

(x, y) = α A + βB + γ C, α + β + γ = 1

如果 $(x, y)$ 在三角形内部，则有 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 均非负。

当 $α = β = γ = 1/3$ 时， $(x, y)$ 是三角形重心。

重心坐标的作用是给三角形内部任意一点线性插值。 $V_{A}$ 、 $V_{B}$ 、 $V_{C}$ 可能是位置、颜色、深度等等。

V = α V_{A} + β V_{B} + γ V_{C}

重心坐标插值并不具有投影不变性。

利用重心坐标插值，就可以查询任意一点 $(x, y)$ 对应的纹理 $(u, v)$ 。

纹理的应用

凹凸贴图

纹理不止可以表示颜色，也可以表示物体的模型。例如，一个球的表达是非常容易的，通常几百个三角形就能很好的描述，但是左图所示的表面有复杂纹理的球体如果用三角形表示，则很麻烦。可以用像描述表面纹理一样的方法去描述每一点的相对高度。

凹凸贴图(bump mapping)用一张灰度图存储高度的相对变化值。

法线贴图

法线贴图(normal mapping)直接将法线存储在贴图中。

如图，改变后的法线方向垂直于 $(1, d p)^{T}$ ，应为 $(- d p, 1)^{T}$ 。不过，上述是在平面上的简单示意图，实际情况下纹理是一个 $u - v$ 平面，计算改变后的法线方向需要：

以原本的法线为 $(0, 0, 1)^{T}$ 建立一个局部坐标系

计算 $n = (- d p / d u, - d p / d v, 1)^{T}$

对 $n$ 归一化即为所求

位移贴图

位移贴图(displacement mapping)会实际上真的移动顶点！

由于凹凸贴图和法线贴图(左图)并不会真正的改变顶点，在一些细节上会与位移贴图(右图)有出入，例如物体的边缘和凸起部分的阴影。

位移贴图要求原图三角形的定义足够细致，也就是原物体顶点的采样率要高于凹凸纹理的采样率，否则就没办法通过移动顶点来实现纹理（就像很低分辨率的屏幕上不能很好的显示出高分辨率的图片）。

3D纹理

之前讨论的纹理都是2D的，但纹理也可以定义在3D空间中，例如上图的纹理是定义在3D空间中的噪声，空间中每一个点都有值（把花瓶切开，其内部也是有纹理的）。

图中使用的是柏林噪声。